Unidad 1 - Números naturales

Indice

UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES

Los números naturales surgieron de la necesidad que tuvo el hombre de contar. El primer elemento del conjunto de los números naturales es el número 1, no hay un último elemento, por lo tanto, es un conjunto infinito.

Operaciones básicas: SUMA, RESTA. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Para resolver ejercicios combinados hay que tener en cuenta:

Separar en términos (los signos + y – separan en términos)
Resolver los paréntesis
Resolver las operaciones de cada término
Por último resolver las sumas y restas de izquierda a derecha

ACTIVIDADES

Resolver los siguientes ejercicios combinados:

5 . 2 - 4 : 2 + 9 . 8 =
12 : 2 + 1 + 100 : 20 =
18 – 2 – 3 + 7 . 4 =
2 . 6 : 2 – 3 . 0 + 15 =
3 . ( 2 + 3 . 4 ) – 25 : (1 + 4 ) =
9 . (64 – 20) + (39 + 25) / 8 =
4 + 5 . ( 2 + 4 ) – 3 . ( 4 – 1 ) =
600 / 10 – 3 . 8 + 12 . 9 =
16 : ( 4 – 2 ) + 7 : 7 =
510 – 27 . 3 + 54 / 9 =
5 . ( 1 + 2 . 3 ) – 10 : ( 3 + 2 ) =
24 / 8 . 5 – 12 + 7 =

Propiedades de las operaciones con números naturales

SUMA

Conmutativa: 8 + 9 = 9 + 8

Asociativa: 3 + (1 + 2) = (3 + 1) + 2

MULTIPLICACIÓN

Conmutativa: 2 . 3 = 3 . 2

Asociativa: (4 . 5) . 6 = 4 . (5 . 6)

Distributiva respecto a la suma y la resta:

3 . (2 + 5) = 3 . 2 + 3 . 5
(1 + 9) . 4 = 1 . 4 + 9 . 4
5 . (8 - 3) = 5 . 8 – 5 . 3
(7 – 2) . 9 = 7 . 9 – 2 . 9

ACTIVIDADES

Resolver aplicando propiedad distributiva

2 . (7 – 5) =
3 .(9 - 6)
(2 + 1 + 7) . 4 =
10 . (8 - 5) =
(10 -2) . 7 =
(4 -1) . 5 =
8 . (20 – 8 -2) =
9 . (11 - 7) =
(7 – 3 -2) . 6

Resolver los siguientes ejercicios aplicando propiedad distributiva cuando sea posible

5 · ( 9 - 6 ) - ( 2 · 5 - 4 ) =
( 5 - 3 )·( 2 · 3 - 4 ) + 8 =
( 18 – 4 ) : 7 + 9 – 3 · 2 =
10 · 3 + ( 16 - 2 · 3 ) : 5 =
( 8 - 2 ) : 3 + 2 · ( 5 - 3 ) =
( 54 : 6 + 7 ) : 8 + 2 · 5 =
5 + 2 · ( 12 - 2 · 3 ) + 12 =
( 12 : 4 + 2 ) · ( 2 + 3) - 6 =
3 + 3 · 2 + ( 6 · 2 - 8 ) : 4 =
3 · 2 + ( 3 · 4 + 4 ) : 8 - 2 =
[3 + (6 · 5 - 3 · 7)] : 6 + 8 : 4 + 6 =
20 - [ 3 + 3 · 2 + ( 6 · 2 - 8) : 4] =
10 · 3 - 4 · 5 + ( 16 - 2 · 3 ) : 5 =
[( 12 - 4) : 4 + 3 · 4 ] : 7 - 1 =
[4 + 5 · ( 4 - 2)] : 7 + 3 · (2 + 2 · 3) =
[ 2 + (3 · 4 + 4) : 8] - [ 7 - 2 · (9 - 6)] =
[(7 - 5) · (5 - 3) + 10] : 7 + 8 =
( 3 · 5 + 5 · 8 ) : [23 - 3 · (12 - 2 · 3)] =
17 - [12 - 45 : ( 6 · 2 + 3)] =
[ 5 + ( 3 · 4 - 6) ]· 3 - 3 ·9 =
32 - 4 · 7 + 2 · ( 1 + 3 ) =
50 - 4 · ( 5 · 5 - 3 · 5 ) + 2 · 4 =
25 + 3 · ( 1 + 2 ) - ( 10 - 3 · 2 ) · 3 =
( 8 + 5 · 4 ) : 7 + 3 · [35 - (2 + 2 · 3)] =
72 : (4 + 3) + 14 + 4 : 2 =

Completar la siguiente tabla con los números que faltan resolviendo lo indicado en el encabezado

A	B	A + B	3 . B - A
5		11
	15		30
9	12
8			19
	4	10
7			17

POTENCIACIÓN

La potenciación es el producto de dos o más números iguales

5³ = 5 . 5 . 5 = 125

En la expresión el número 5 es la base mientras que el 3 es el exponente. El exponente indica cuantas veces se debe multiplicar la base por si misma.

Para tener en cuenta

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente.
Ejemplo: 10⁵ = 10 . 10 . 10 . 10. 10 = 100.000

Toda potencia de base 1 es igual a 1.
1ⁿ = 1

Todo número elevado a la cero es igual a 1.
n⁰ = 1

Todo número elevado a la 1 da como resultado el mismo número.
n¹ = n

ACTIVIDADES

Escribir en forma de potencia:

3 . 3 . 3 . 3 =
5 . 5 . 5 =
6 . 6 =
9 . 9 . 9. 9 . 9 . 9 =

Expresar los siguientes números como potencias de 10:

10.000 =
10.000.000 =
10 =
1 =
1.000.000 =
100.000.000 =

Resolver las siguientes potencias:

2³ =
7³ =
3⁵ =
8² =
4² =
2⁵ =
5³ =
9² =
124⁰ =
1⁵⁰ =
2¹=
1⁹⁹ =
1⁵=
25¹ =

RADICACIÓN:

RAÍZ CUADRADA:

La raíz cuadrada de un número es el número tal que, elevado al cuadrado da como resultado el número dado.
√64 = 8 <==> 8² = 64

RAÍZ CÚBICA:

La raíz cúbica de un número es el número tal, que elevado al cubo da como resultado el número dado.
3√ 27 = 3 <==> 3³ = 27

RAÍZ ENÉSIMA

De la misma manera se calculan las raíces con cualquier índice:

5√ 32= 2 <==> 2⁵ = 32

4√ 81= 3 <==> 3⁴ = 81

ACTIVIDADES

Calcular las siguientes raíces:

√4 =
√9 =
√16 =
3√27 =
3√125 =
3√8 =
3√1000 =
√121 =
3√64 =
5√1 =

Resolver los siguientes ejercicios combinados:

√64 + (2 + 3)² - √16 - (9 + 23)⁰ =
√100 - 64 + 3 . 2² + (3 – 1)³ =
4² + 3² – 9 . 2 : 6 + 1³ =
3 . 3² – 5 . (1 + 3) + 5³ – 10² =
√4 . 10 + 9 + 3√4 + 4 – 12/3 + 10 : 5 . 3 =
√8² + 6² + 11² – 140 : 7 + 5√32 =
4√16 + 3 . (7 – 4)+ (4² + 2) : 9 =
√100 + 3 . 2 + 3² - 5² =
2³ - √4 + 10 : 2 + 3√27 =
5 . 4 + 3 . 7 - 4³ : 4² =
9² – 3² + 7 . 4 : 2 - 5² . 2 =
(7 + 5 . 3) : 2 + 3⁰ + 3¹ – 1⁴ =
(1 + 2)³ – (8 . 2 – 2 . 3) – 2 . 7 =
36/9 + (3 + 8 – 2)² – 5² =
3√36 + 3 . (102 – 92) - 13 . √4 =
√100 / 2 + 3√6² - 3² – 12 : 3 =
(16 – 900 : 100)² - 4√16 – 9¹ + 9⁰ =
6² – 5² + 2 . √11 . 2 - 13 – 2³ =
√25 + 4 . (16 - 2²) – (18 - 3²) : 9 =
3√125 + 2⁵ : 8 + (10 - 2²)² – 8 . 5 : 20 =
(16 - 8) / 4 + (3 + 6 ) / 9 - 5 . 6 : 15 + √100 - 19 =

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

3² . 3⁴ = (3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) = 3⁶

3² . 3 ⁴ = 3^{2 + 4} = 3⁶

Cuando se multiplican potencias de igual base se obtiene otra potencia que tiene la misma base y su exponente es la suma de los exponentes de los factores.

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

2⁸ : 2⁵ = 2⁸ / 2⁵ = (2 .2 .2 .2 .2 .2 .2 .2) / (2 .2 .2 .2 .2) = 2^{8 – 5} = 2 ³

Cuando se dividen potencias de igual base
se obtiene otra potencia de igual base y
su exponente es la diferencia entre los exponentes originales.

POTENCIA DE POTENCIA

(4²)⁵ = 4² . 4² . 4² . 4² . 4² = 4^(2+2+2+2+2) = 4¹⁰

(4²)⁵ = 4^{(2 . 5)} = 4¹⁰

Cuando se calcula la potencia de otra potencia,
el resultado es otra potencia con la misma base y
el exponente es el producto de los exponentes originales.

ACTIVIDADES

Resolver aplicando propiedades de la potenciación:

2² . 2 =
3⁵ : 3³ =
4⁶ : 4² =
10⁵ . 10 =
(6 . 6⁵) : 6³ =
(4²)³ =
(3³)² : 3⁴ =
7⁴ . 7⁵ : 7⁷ =
6² . 6⁰ =
(2⁴ . 2³) : 2⁸ =
(2³)⁰ =
x . x =
x² . x³ =
x⁵ : x³ . x =
x¹⁰ : x² : x⁵ =
(x⁵)² . x² =
(x³)³ : x⁹ =
x . (x²)⁶ =
(x . x⁵)⁴ =
(y³ : y² . y²)³ =
(x² . x³)² =
3⁵ / 3³ =
5¹⁰ / 5⁸ . 5² =
10⁶ / 10² : 10⁴ =
x² / x⁰ =
(2¹² / 2⁸)³ =

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA POTENCIACIÓN

(2 . 5)² =	10² =	100		Los resultados son iguales
(2 . 5 )² =	2² . 5² =	4 . 25 =	100	Los resultados son iguales
(10 : 5)³ =	2³=	8		Los resultados son iguales
(10 : 5)³ =	10³ : 5³ =	1.000 : 125 =	8	Los resultados son iguales

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división

ACTIVIDADES

Resolver aplicando propiedades de la potenciación:

(10 : 5)² =
(2 . 3)³ =
(8 : 2)² =
(2 .x)3 =
(3 . x²)³ =
(x : 2)⁴ =
(3 . x . x⁵)⁴ =
(x . y)³ =
(y³ : y² . x²)³ =
(3² . x³)² =
(x³ . 2²)² =
(y³ : y)² =

Resolver los siguientes ejercicios combinados aplicando propiedades:

2 . (8 - 3) + (3²)² - √4² + (3 + 2)² =
(7 + 2) . 9 – 4 . 4² + 2² . 2⁵ : 2⁴ =
(5⁵)² : (5²)⁴ - √2² . 4 + 10 : (3 - 1) =
3² . (5 -2) + 3√10 - 2 + √2³ – 4 =
12 / 6 + 3 . (10 - 7) + 1⁰ + √49 =
(10 + 2²) / 2 + 2² + (20 - 5) . 8 - √6² + 3√4² + 11 =
10 . (10 - 7) + (12 – 4 - 7) . 3 – 3⁵ . 3² : 3⁴ + (2³)² =

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad con letras y números

Para resolverla hay que hallar el valor numérico de la incógnita para convertir esta igualdad en una igualdad numérica

EJEMPLO:

10x – 8 = 12
10x – 8 + 8 = 12 + 8
10x = 20
10x/10 = 20/( 10)
x = 2

ACTIVIDADES

Resolver las siguientes ecuaciones:

x + 4 = 9
x – 20 = 10
2x = 8
x / 3 = 2
x² = 4
3√x = 2
2x + 9 = 15
(x + 3) / 2 = 4
x – 8 = 30 – 25
2x + 7 = 3 . 9
x / 2 – 3² = 3√125 – 2 . 5
x² – 5² = 7² – 3² + 1
√x + 8 = 3 . 5
x³ + 1⁴ = 8² + 3⁰
3p + √25 = √16 . √81 + 5
x² + 3 . 7 = 11²
18 + √x + 1 = 100 / 5
4 m – 14 . 4 = 8
3 . 5 + 7⁰ – 2³ = p : 2 – 1
10² + 8 = 12 . h – 6²
12 + y : 7 – 32 = √25
2 . b + 4 : 2 = √100
p² + 10² = 5³
3√x + 5² + 8 . 3 = 26 . 2
5x + 1 = 36
x + 5 – 1 = 26 – 14

Calcular el valor de “x” aplicando propiedad distributiva:

2 . (x + 1) = 18
3 . (x - 1) = 3
8 . (x + 6) = 88
5 . (x - 4) = 15
7 . (x + 2) = 21
(x - 5) . 4 = 16
(x + 4) . 3 = 24
(x- 2) . 9 = 27
3 . (2x - 8) = 36

LENGUAJE COLOQUIAL Y SIMBÓLICO

Las ecuaciones sirven a menudo para resolver problemas.

Para traducir un problema al lenguaje simbólico:

Realizar una lectura comprensiva para identificar cuales son las palabras más importantes, que indican las operaciones a realizar.
Traducir el enunciado en símbolos matemáticos y resolver la ecuación planteada.
Verificar si el resultado obtenido satisface las condiciones del problema.
Expresar la respuesta en lenguaje coloquial.

ACTIVIDADES

Completar el siguiente cuadro:

LENGUAJE COLOQUIAL	LENGUAJE SIMBÓLICO
El doble de un número
La mitad de un número
La tercera parte de un número
El triple de un número
La cuarta parte de un número
El cuádruple de un número
Un número disminuido en tres
El cuadrado de un número
El cubo de un número
El siguiente de un número
El anterior de un número
Si a un número se le agregan dos unidades
El posterior de un número
El cuadrado del doble de un número
La diferencia entre un número y cinco
El cociente entre un número y ocho
El producto entre un número y siete

Plantear la ecuación y resolver:

Si a la mitad de un número se lo disminuye en seis unidades, y al resultado se lo multiplica por tres, da nueve. ¿Cuál es dicho número?
El cociente entre un número y tres es igual a la diferencia entre veinticinco y doce. ¿Cuál es el número?
Si al doble de un número se lo aumenta en cinco unidades, y al resultado se lo divide por tres, se obtiene siete. ¿Cuál es el número?
Si al triple de un número se lo aumenta en cuatro unidades, y al resultado se lo multiplica por cinco, se obtiene cincuenta. ¿Cuál es el número?
Si a la mitad de un número se le suman siete unidades se obtiene veintiuno. ¿Cuál es el número?
La diferencia entre la tercera parte de un número y ocho es igual a la raíz cúbica de ocho. ¿Cuál es el número?
El triple del siguiente de un número es igual al doble de veintiuno. ¿Cuál es el número?
La suma entre un número y el triple de su anterior es treinta y tres. ¿Cuál es el número?
Si al triple de un número se le suma el cubo de dos, se obtiene el anterior de treinta. ¿Cuál es el número?
Si a la diferencia entre el cuadrado de un número y cuatro se la divide por cuatro, da ocho. ¿De qué número se trata?
La suma de un número y su consecutivo es 41. ¿Cuál es el número?
Averigua un número sabiendo que su doble, aumentado en 5 unidades, da diecisiete.
Si a la cuarta parte de la edad de Cristina le resto uno, obtengo la raíz cuadrada de cien. ¿Qué edad tiene Cristina?
El doble de la edad que tenía Juan hace cinco años es igual a treinta y dos años. ¿Qué edad tiene Juan?
El doble de un número menos 4 es igual al mismo número menos dos unidades. ¿Cuál es el número?
La suma de dos números es cincuenta. Calcula los dos números, si uno es cuatro veces mayor que el otro.
El doble de un número más el siguiente de dicho número es igual a treinta y cuatro. ¿De qué número se trata?
La diferencia entre la tercera parte de un número y el cubo de tres es igual a la mitad de catorce. ¿Cuál es el número?
Si al anterior de un número le agrego el doble de trece obtengo el cuadrado de ocho. ¿Cuál es el número?
El triple del cuadrado de un número es igual al cociente entre sesenta (60) y cinco (5). ¿Cuál es el número?
El triple de un número disminuido en dos es igual al doble del número aumentado en cinco unidades. ¿Cuál es el número?
La mitad del siguiente de un número más el cuádruple de tres da veinticinco. ¿Cuál es el número?
El cuadrado de la diferencia entre el doble de un número y uno da cuarenta y nueve. ¿Cuál es el número?
La raíz cuadrada del producto entre un número y dos es igual al doble de uno. ¿Cuál es el número?
La tercera parte del anterior de un número es igual al triple de quince. ¿Cuál es el número?
Si a un número le agrego tres unidades y al resultado lo multiplico por cuatro se obtiene la raíz cuadrada de sesenta y cuatro. ¿Cuál es el número?

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