UNIDAD 2: NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros es infinito, ya que no hay un primer ni un último elemento. El conjunto de los números naturales está incluído dentro del conjunto de los números enteros.

Está formado por los números enteros:

Positivos: 1, 2, 3, 4…….(los números naturales)

Negativos: -1, -2, -3, -4…….

El cero: es un número entero que no es positivo ni negativo. Se considera neutro.

Representación en la recta numérica

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Opuesto de un número

Opuesto de un número entero es aquel que se encuentra a la misma distancia del cero.

Ejemplo:

• El opuesto de -4 es 4

Valor absoluto o módulo de un número

El valor absoluto o módulo de un número es la distancia que lo separa del cero.

Un número entero entre dos barras verticales se lee como valor absoluto de dicho número. Ejemplos.

• |-5|= 5 se lee valor absoluto de menos cinco igual a cinco.
• |3|= 3 se lee valor absoluto de tres igual a tres.

• módulo de cualquier número es siempre positivo.
• número y su opuesto tienen el mismo módulo (por encontrarse a la misma distancia del cero).

ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Al comparar dos enteros se pueden dar tres situaciones.

Nota: El primer y tercer ejemplo se observa la relación entre los mismos números. En el primer caso como relación es menor que. En el segundo caso como relación es mayor que.

Al comparar números negativos aquel que tiene mayor valor absoluto es el número más chico

- 2 > - 8

Al comparar números positivos aquel que tiene menor valor absoluto es el número más chico

3 < 10

ACTIVIDADES:

1. Escribe el número que representa cada situación.
1. Un submarino está sumergido a 93 metros.
2. La temperatura es de 4 0 C.
3. Está 6 metros sobre el nivel del mar.
4. Tiene $35 en sus ahorros.
5. La temperatura es de 15 0 C bajo cero.
6. 36 metros bajo el nivel del mar.
7. 18 0 C sobre el punto de congelación del agua.
8. Debe $200.
9. Se hundió un metro bajo el nivel del mar.
10. 5 0 C bajo el punto de congelación.
11. Debe $ 41 a su hermana.
12. Tiene $ 805 en su alcancía.
13. La cima de la montaña está a 1500 metros sobre el nivel del mar.
14. La Ciudad de México está a 2.303 metros sobre el nivel del mar.
15. El helicóptero se elevó 1650 metros sobre el nivel del mar.
16. Un día de invierno, la temperatura, contando el factor viento, llegó a 32 0C bajo cero.
2. Representar en la recta numérica los siguientes números: 10, -8, 0, -14, 2, -2, 1, -3
3. Escribe los números de menor a mayor.
1. 0, 4, -3, -1
2. 1, -1, 2, -2
3. 8, -21, 22, -3
4. -5, -7, 0, -9, -145
5. 31, -31, 30, -30
6. 100, -21, 38, 5
7. 27, -58, -2, 4
8. 12, -5, -6, -4
9. -54, -56, -61, -51
10. 3, -3, 7, -7
4. Completa el siguiente cuadro.

NÚMERO	OPUESTO	VALOR ABSOLUTO	ANTERIOR	POSTERIOR
1
-13
0
18
-1
-101
-299
71

5. Completar con < (menor) , > (mayor) o = (igual).

1.    3 .... 5

2.    1 .... -1

3.   -5 .... -6

4.  -34 .... 34

5.   67 .... -67

6.    0 .... -12

7.  -21 .... -20

8.    8 .... 25

9.   12 .... -12

10.  -99 .... -100

11.    2 .... 3

12.  -14 .... 15

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:

Cuando los signos son iguales, se suman los valores absolutos y se conserva el signo. Ejemplos

• 10 + 5 = +15
• - 6 - 8 = - 14

• -10 + 15 = +5
• -17 + 6 = -11

Actividades:

1. Resolver:
1. – 9 + 6 – 8 + 3 =
2. 18 – 25 + 5 – 2 =
3. 23 - 15 – 12 + 9 =
4. 8 – 10 – 11 – 5 =
5. - 6 – 8 – 11 – 21 + 32 =
6. 16 – 18 – 2 + 3 =
2. Completar las siguientes pirámides:
1. 
2. 
3. 

Signo antes del paréntesis

• El signo más ( + ) delante del paréntesis no cambia el signo de los números que están dentro del mismo.
• El signo menos ( - ) delante del paréntesis cambia el signo de todos los números que están dentro del mismo.

Ejemplos:

• 10 + (-8) = 10 – 8 = 2
• 5 + (+2) = 5 + 2 = 7
• - 5 – (-3) = -5 + 3 = -2
• - 6 – (+5) = - 6 – 5 = -11

Actividades:

1. Resolver las siguientes operaciones eliminando paréntesis:
1. (+12) + (+5)=
2. (+30) + (-45)=
3. (-14) + (+16)=
4. (+50) + (+25)=
5. (+25) + (-8)=
6. (-14) + (4)=
7. (-14) + (-2)=
8. (+20) + (-20)=
9. (-7) + (+7)=
10. (-20) + (-30)=
11. (12) + (-17)=
12. (5) + (-8)=
13. (35) + (-15)=
14. (-9) + (-8)=
15. (0) + (-3)=
16. (+8) – (-2) =
17. (+12) – (+5) =
18. (+8) - (-8) =
19. (– 4) – (+11) =
20. (+4) – (+5) =
21. (+8) – (+8) =
22. (+7) – (-8) =
23. (-9) – (-7) =
24. (-2) – (-3) =
25. (– 9) – (-3) =
26. (+3) – (-5) =
27. (+6) – (-1) =
28. (-14) – (-14) =
29. 0 - (-4) =
30. -1 – (-15) =
2. Resolver los siguientes ejercicios, eliminando paréntesis y corchetes
1. 3 + 2 - (9 - 7) + (3 + 4)=
2. 3 + 4 + (4 + 7) + 4 – 9=
3. 45 - 28 - (3 - 9) + (2 + 3)=
4. 15 - 4 - (5 – 4) + (2 - 3) - 16 =
5. - 4 + 5 - (3 + 4 – 5) - 7 + (6 + 4) - 7 - 6 + 4 =
6. -13 - 5 + 6 + (7 - 8 + 1) - 6 =
7. 14 + 5 - 4 + 3 + (- 2 + 4 + 5) - 7 =
8. 4 – 5 – (7 + 8) – (5 - 2)=
9. 5 - 3 - (4 - 7) - 5 + (4 - 2) - 6 + 3 =
10. 2 – (4 + 3) - (7 - 5) - (4 - 8)=
11. - (1 + 5 + 4 – 3) - 7 + 1 - (7 + 8 + 6 - 9 – 23) =
12. 1 + (3 + 5) – (8 + 6 -23) + (45 – 66)=
13. - 5 – (2 + 4 – 7) + 8 – (2) + 5 + 3 – 2 + (5 - 6) – (3 – 5)=
14. 5 + 4 - [5 - (6 + 5 - 8) + (9 - 1 + 4)] =
15. 3- 2 - [4 - (6 + 4) - 9 + (1 - 3) - 8] + 4 =
16. 2 - [2 - (2 - 3 + 1) + 2 + 3] - 2 =
17. 3 - 2 - 3 - [- 2 + (1 + 3)] - 3 =
18. 2 + 3 - 2 - [2 - 3 + 1 - 2 - (3 - 1)] - 2 =
19. 2 - 4 - (- 2 - 3) - 2 - [- 2 - (- 2 + 3)] - 1 + 2 =

Multiplicación y división con números enteros

Cuando se dividen o multiplican dos números de igual signo, el resultado es positivo.

Cuando se dividen o multiplican dos números de distinto signo, el resultado es negativo.

Ejemplos:

• (-4) . (-8) = + 32
• (+5) . (-2) = - 10
• (-36) : (+9) = - 4
• (-80) : (-10) = +8

Actividades:

1. Resolver los siguientes productos y cocientes:
1. (-10) . 25 =
2. –54 : (-9) =
3. 33 : (-3) =
4. (-13) : (-13) =
5. 8 . (-7) =
6. (-11) . (-6) =
2. Completar para que la igualdad sea verdadera:
1. __ · (-3) = -18
2. 144 : __ = -12
3. –45 : __ = 9
4. –9 · __ = -72
3. Resolver los siguientes ejercicios combinados:
1. (-3) .[(-1) + 9]=
2. (-1) . (-2) . 3 . 5 . (-2) =
3. (-3) . (-2-5) =
4. 7 . ( -2) . [(-3+1) . (-2)]=
5. (-14) . (+6) : (-21) + (-9) =
6. [- (-36) : (-4)]- (-5-8)- (-6) =
7. – {-24 : (-9+3) – [ -7 . (-11)] -1} : (-2) =
8. 6 . (2 - 3) =
9. 4 . (- 3 - 5) =
10. -2 . + 5 . (-3 ) =
11. 7 + 3 . (-5) =
12. 5 – (-3) . 7 – 4 =
13. -7 . (-3) – 4 . 2 =
14. – 2 .(-4) – 4 . 5 – 7 + 15 =
15. 6 . (-3) – 7 . (-4) – 5 + 3 =
16. 5 . 2+ 8 (-2) + 8 – 2
17. (- 3 + 9).[- 32 : (-8)] =
18. (- 8 + 3 ) · ( 5 – 9 ) =
19. 4 · (- 3) . (10 - 15) =
20. (–18 + 12) : 6 =
21. (–16 + 12 – 2 + 10) : 2 =
22. (32 – 16 – 8) : (– 8) =
23. 60 : (–10 . 2) =
24. 6 – (-2) . 4 – 2 =
25. 4 . (-5) – 5 . (-6) – 9 – 5 =
26. 2 . (-5) + 3 . (-5) – ( -25) =
27. – 4 . (-6) – 3 . 4 =
28. 60 : (– 5) + 10 : (– 5) =
29. (-14) . (+6) : (-21) + (-9) =
30. [- (-36) : (-4)]- (-5-8)- (-6) =
31. 3 – 5 : (-1) + 0 . (-3) =
32. 4 – 2 . (-5) – 10 =
33. – 12 : 3 + 2 . (-8) =
34. (-5 +1) -3 . (-2) =
35. [(-2) · (-4) + (-3) · (-6)] : (-13) =
36. [(+4) · (-5) + (-6) · (-3)] : 19 =
37. [(-8) · (-4) + (+8) · (-6)] : (-10) =
38. [(-9) · (-3) + (-9) · (-8)] : (-11) =
39. [(+3) · (-8) + (-4) · (-10)] : 8 =
40. [(-4) · (+9) + (-11) · (+2)] : (-2) =
41. (-9) . (-1) + 5 . 3 – 5 . (-2) =
42. 7 . (-6) + (-6) . (-4) + (-3) . 8 =
43. 3 . (-4) . 7 . 1 -4 . (-5) -3 . (-4) . 20 . (-30) . 0 =
44. 6 . (-2) – (-4) . (-5) + (-3) . (-7) =
45. 5 . (-4) : (-2) – 6 : (-3) + 4 . 2 : 2 =
46. 10 : (-5) – 18 : (-3) – (-4) . (-5) . (-3) – (-10) : 2 =
4. Resolver:
1. -2· -4+(-3) · (-6)-13 =
2. (-3) · (+8) + (-5) · (+3)-13 =
3. (+4) · (-5) + (-6) · (-3)-2 =
4. (-8) · (+4) + (+8) · (-6)(-10) =
5. (-9) · (-3) + (-9) · (-8)11 =
6. (+3) · (-8) + (-4) · (-10)-8 =
7. (-4) · (+9) + (-11) · (+2)-2 =

Potenciación con números enteros

• (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = - 8
• (-3)² = (-3) . (-3) = +9
• (+2)⁴ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = + 16
• (+3)³ = (+3) . (+3) . (+3) = + 27

Actividades

1. Calcular las siguientes potencias:
1. (-2)²
2. (-3)³
3. (-4)²
4. (-10)⁵
5. (-1)²
6. 0⁴
7. (-4+1)⁰
8. (3 . 2 - 7)³
9. (-20 : 4)¹
10. (-12 : 3 + 8 : 2)⁴
11. (-7 + 5)⁵
12. (-18 : 3)³

Radicación con números enteros

• √327 = 3 porque 3³ = 27
• √3-8 = -2 porque (-2)³ = - 8
• √416 = ± 2 porque (+2)⁴ = 16 y (-2)⁴ = 16 (en los ejercicios combinados utilizamos el resultado positivo)
• √-4 = no tiene solución en el conjunto de los números enteros

√indiceradicando	Resultado
√impar+	Positivo
√impar−	Negativo
√par+	Positivo y negativo
√par−	No existe solución

ACTIVIDADES
2. Calcular las siguientes raíces
1. √4=
2. √3-27=
3. √4-16=
4. √481=
5. √364=
6. √41=
7. √50=
8. √5-1=
9. √416=
10. √5100000=
11. √-100=
12. √4-1=
13. √464=
14. √5-32=
15. √3-216=
16. √17-1=
17. √3-8=
18. √3-64=
19. √-9=
20. √3-1000=
3. Resolver las siguientes operaciones combinadas:
1. √-(8 . 5 - 2³) ∶ (-2)=
2. √(3 . 5 + 1 ) : (-4) =
3. √46 . (-10)² + (-5)²=
4. √(-7)² . (-2)² - 3 . 5 + (-2 . 3)²=
5. √25 - 9 + 3 . (-2)³=
6. 2 . ( 2 . √481 : 3) + (-3)³ : 9 =
7. (√5-32+ 5)² : 3 + 3 (5 – 9 ) ² =
8. ( √4 + √9 )² - 8 : 2 - (2²)²=
9. √31 - 9 - (-2)² . 3 : (-6)=
10. (-3)²: (-4 + 1) + √(-7).(-6) - (-12):(-2) =
11. [ 20 : √25 + √3-27 . ( −2)²]²
12. [(−6)²: √81 ]² : √64 − √4 =
13. √ [(3 − 2 ) . 9 : 3 + 4 ] . 7 =
14. [ √3 √64 − 3 ] . (1 − 2²) =
15. √ √81 + √256 − √13² −(−12)² =
16. [4 - 5 . (−3)+2−(2−5)²]: √ 5 .2² −2² =
4. Resolver las siguientes ecuaciones, aplicar propiedad distributiva cuando sea necesario:
1. − 3х = 18
2. − 7х = 21
3. − 6х − 9 = −3
4. 5 + 4х = −3
5. − 10х = −50
6. − 4х = 20
7. − 11х = −22
8. − 2х + 2 = −10
9. 4 − х =6
10. х : (−5) = − 20
11. 2х − 5 = 11
12. (2 − х) . (−5) = −25
13. 12 . ( х : 3 ) + 2 = (−5) . 6 + (−2) . 4
14. 4 + х : (−2) = 3√ − 1
15. 2 . (3 + 2х) + (−3) . (х − 1) = 0
16. 7 − 2х = (− 13).(−3) + 2
17. 4 . (х − 8) = 6 − 30
18. − х + 4 − 7 = 0
19. 2х + 4 =3х
20. 5х − 14 = 7х
21. 39 + 3х = − 10х
22. 7х + 2 − 5х = х + 8 − х
23. 6х − 3 − 4х − х = 5х + 8 − х − 6 − 4х
24. − 12х − 36 = 0
25. 3 ( х − 5) = 6 + 2 (х − 7)
26. 3х + 5 − 8х = 8 − 3х − (−3)2
27. √81 − 4 х = 6х − 52 + √16
28. 8х − √−64 − √3−27 = 9х + (−2)²
29. 4х − 3(х − 2) = (−2)¹ + (−6)²
30. 5(2х−1)−2(3х+1)= −1
31. 2.(5х − 3) − (х +1) = 11
32. 4 − х² = 0
33. 3(х² + 2) − 5 = 15 + (−2)(−1)⁴
34. √32х + 6 = 2
35. (2n−3)³ +125=0
36. х − 5х + (−3)² = 4(х −1) + √9 . (−1)